Chương 10 - Hình học lượng tử (10)

Đối xứng gương

Thông qua thuyết tương đối rộng, Eeinstein đã xác lập được mối liên hệ giữa vật lý của lực hấp dẫn và hình học của không thời gian. Ban đầu lý thuyết dây đã củng cố và mở rộng mối liên hệ đó giữa vật lý và hình học, vì các tính chất của dây dao động, như các khối lượng và tích lực mà các dây mang, chủ yếu được xác định bởi tính chất của các chiều không gian bị cuộn lại. Tuy nhiên, như chúng ta vừa mới thấy, hình học lượng tử, tức là sự kết hợp của vật lý và hình học trong lý thuyết dây, còn có một sự kết bện chặt chẽ một cách lạ lùng. Trong thuyết tương đối rộng, và trong “hình học thông thường”, một vòng tròn bán kính R là khác với vòng tròn có bán kính 1/R; còn trong lý thuyết dây, về phương diện vật lý, chúng hoàn toàn không thể phân biệt được. Điều này đã khích lệ chúng ta dấn bước tiếp và đặt câu hỏi: liệu có những dạng hình học khác nhau một cách rõ rệt hơn không, nghĩa là không chỉ khác nhau về kích thước tổng thể mà có thể cả về hình dạng nữa chẳng hạn, mà vẫn không thể phân biệt được về mặt vật lý hay không?

Vào năm 1988, Lance Dixon thuộc trung tâm máy gia tốc tuyến tính ở Stanford đã đưa ra một nhận xét có tính bước ngoặt và sau đó ý tưởng này đã được phát triển mạnh mẽ bởi Wolfgang Larche ở CERN, Vafa ở Đại học Harvard và Nicolas Warner hồi đó thuộc Viện công nghệ Massachussetts. Dựa trên những lập luận về mặt thẩm mỹ bắt nguồn từ những nghiên cứu về đối xứng, họ đã đưa ra một ý kiến táo bạo cho rằng, có thể có hai không gian Calabi-Yau khác nhau được chọn cho các chiều không gian bị cuộn lại trong lý thuyết dây nhưng đều dẫn tới cùng một vật lý.

Để có một ý niệm về cách thức mà điều này có thể thực sự xảy ra, bạn cần nhớ lại rằng số lỗ trong các chiều phụ được cuộn lại thành không gian Calabi-Yau xác định số họ dao động của các dây. Các lỗ này tương tự như lỗ ở giữa chiếc xăm ô tô hoặc ở những chiếc xăm nhiều lỗ như được minh họa trên hình 9.1. Một nhược điểm của hình hai chiều mà chúng ta phải biểu diễn trên trang giấy là không thể biểu diễn một không gian Calabi-Yau sáu chiều với các lỗ có thể có số chiều rất khác nhau. Mặc dù những lỗ như vậy rất khó vẽ, nhưng chúng đều có thể được miêu tả chính xác về mặt toán học. Một thực tế quan trọng là số họ hạt sinh ra từ mode dao động của dây lại rất nhạy cảm với tổng số lỗ, chứ không phải với số lỗ có số chiều cụ thể nào đó (chính vì thế, trong những thảo luận ở chương 9, chúng ta không bận tâm với việc mô tả sự khác biệt giữa các loại lỗ khác nhau). Bây giờ hãy hình dung hai không gian Calabi-Yau, trong đó số các lỗ có số chiều khác nhau là khác nhau, nhưng tổng số các lỗ thì như nhau. Vì số các lỗ có cùng số chiều nào đó là không giống nhau, nên hai không gian Calabi-Yau này có hình dạng khác nhau. Nhưng vì chúng có tổng số các lỗ như nhau, nên mỗi không gian đó sinh ra một vũ trụ có cùng một số họ hạt. Tất nhiên, đó chỉ là một tính chất vật lý. Sự phù hợp đối với mọi tính chất vật lý là một đòi hỏi khắt khe hơn rất nhiều. Dù sao, thì ít nhiều điều này cũng cho ta một ý niệm về sự đúng đắn của giả thuyết Dixon - Lerche - Vafa - Warner tới mức nào.

Mùa thu năm 1987, tôi tới thực tập sau tiến sĩ tại khoa vật lý, Đại học Harvard và phòng làm việc của tôi chỉ cách phòng của Vafa mấy phòng. Vì biết đề tài luận án của tôi tập trung vào các tính chất vật lý và toán học của các không gian Calabi-Yau, nên Vafa thường xuyên thông báo cho tôi biết về công việc của ông trong lĩnh vực đó. Một lần ông dừng lại phòng tôi và cho tôi biết giả thuyết mà ông, Lerche và Warner vừa mới nảy ra, tôi đã mê ngay nhưng vẫn còn hoài nghi. Mê là bởi vì tôi biết rằng, nếu như giả thuyết của họ mà đúng thì nó sẽ mở ra một con đường nghiên cứu mới về lý thuyết dây, còn hoài nghi là vì ai cũng biết phỏng đoán là một chuyện, còn xác lập được các tính chất của một lý thuyết lại là một chuyện hoàn toàn khác.

Trong những tháng tiếp sau, tôi thường xuyên suy ngẫm về giả thuyết đó và nói thực, tôi gần như đã thuyết phục được mình rằng giả thuyết đó là không đúng. Tuy nhiên, một dự án nghiên cứu dường như không có liên quan mà tôi cùng làm với Ronen Plesser, khi đó là sinh viên vừa tốt nghiệp đại học Harvard và hiện làm việc tại viện Weizmann và Đại học Duke, chẳng bao lâu đã làm thay đổi hoàn toàn ý nghĩ của tôi. Plesser và tôi quan tâm tới việc phát triển những phương pháp để biến đổi bằng toán học một không gian Calabi-Yau ban đầu thành những không gian Calabi-Yau khác chưa biết . Chúng tôi đặc biệt tập trung vào một kỹ thuật có tên là obifolding, do Dixon, Jeffrey Harvey thuộc đại học Chicago, Vafa và Wittem đưa ra vào giữa những năm 1980. Nói một cách nôm na, đây là một thủ tục trong đó các điểm khác nhau trong không gian Calabi-Yau ban đầu được dính lại với nhau theo những quy tắc toán học xác định để đảm bảo tạo ra một không gian Calabi-Yau mới. Điều này được minh họa khái lược trên hình 10.4. Cơ sở toán học của những phép biến đổi được minh họa trên hình này là hết sức phức tạp. Chính vì thế, các nhà lý thuyết dây chỉ nghiên cứu kỹ thủ tục này khi áp dụng nó cho những hình dạng đơn giản nhất, đó là những hình dạng tương tự như chiếc xăm ô tô trên hình 9.1 nhưng có số chiều cao hơn. Tuy nhiên, Plesser và tôi thấy rằng, những phát hiện mới rất đẹp của Doron Gepner hồi đó làm việc ở đại học Princeton, có thể cho một khuôn khổ lý thuyết rất mạnh để áp dụng kỹ thuật orbifoling cho mọi không gian Calabi-Yau, chẳng hạn không gian được minh họa trên hình 8.9.

Sau một ít tháng theo đuổi bắt gắt gao ý tưởng này, chúng tôi đã đi tới một kết quả thật bất ngờ. Nếu dính các nhóm điểm đặc biệt lại với nhau một cách đúng đắn, thì không gian Calabi-Yau do chúng tôi tạo ra khác với không gian xuất phát lúc đầu một cách thật lạ lùng: số các lỗ có số chiều lẻ trong không gian Calabi-Yau mới đúng bằng số các lỗ có số chiều chẵn trong không gian ban đầu và ngược lại. Đặc biệt, điều này có nghĩa là tổng số các lỗ và do đó tổng số các họ hạt sẽ vẫn là như nhau đối với hai không gian, mặc dù sự trao đổi chẵn/lẻ hàm ý rằng hình dạng và cấu trúc hình học cơ bản của hai không gian đó là rất khác nhau.

Hình 10.4. Obifoling là một thủ tục, trong đó các điểm khác nhau trong không gian Calabi-Yau ban đầu được dính lại với nhau để tạo thành một không gian Calabi-Yau mới.

Được khích lệ bởi mối liên hệ mà chúng tôi dường như đã thấy với giả thuyết Dixon - Lerche - Vafa - Warner, Plesser và tôi lao vào vấn đề mấu chốt: vậy ngoài số các họ hạt ra, hai không gian Calabi-Yau khác nhau còn phù hợp với nhau về những tính chất vật lý nào nữa không? Sau một vài tháng phân tích về mặt toán học, lại được sự động viên và gợi ý nhiệt tình của Graham Ross, giáo sư hướng dẫn luận án của tôi ở đại học Oxford và của cả Vafa nữa, Plesser và tôi khẳng định rằng câu trả lời gần như chắc chắn là có. Vì những lý do toán học liên quan tới sự trao đổi chẵn /lẻ, chúng tôi đưa ra thuật ngữ đa tạp gương để mô tả các không gian Calabi-Yau khác nhau nhưng tương đương về mặt vật lý đó. Mỗi không gian cá thể trong cặp không gian Calabi-Yau đối xứng gương đó không hoàn toàn đúng là ảnh qua gương của nhau, theo cách hiểu thông thường. Nhưng, mặc dù có những tính chất hình học khác nhau, chúng dẫn đến cùng một vũ trụ duy nhất khi người ta chọn chúng làm các chiều phụ trong lý thuyết dây.

Những tuần ngay sau khi tìm ra kết quả, đó là thời gian cực kỳ hồi hộp đối với chúng tôi. Tôi và Plesser biết rằng chúng tôi đang giữ một mảnh quan trọng trong câu đố ghép hình hóc búa của lý thuyết dây. Chúng tôi đã chứng minh được rằng mối quan hệ chặt chẽ giữa vật lý và hình học được xác lập đầu tiên bởi Einstein đã bị lý thuyết dây làm cho thay đổi một cách căn bản: những hình dạng hình học khác nhau trong thuyết tương đối rộng, hàm ý những tính chất vật lý khác nhau, thì trong lý thuyết dây, chúng lại có thể dẫn tới những tính chất vật lý như nhau. Nhưng nếu như chúng tôi phạm sai lầm? Nếu như những hệ quả vật lý khác nhau theo một cách hết sức tinh tế mà chúng tôi không nhận ra? Chẳng hạn khi chúng tôi đưa kết quả của mình cho Yau xem, ông đã tuyên bố một cách rất lịch sự nhưng kiên quyết rằng chúng tôi đã sai lầm; ông còn khẳng định rằng trên quan điểm toán học kết quả của chúng tôi là quá kỳ cục nên nó không thể đúng được. Khẳng định của ông đã làm chúng tôi cụt hứng. Phạm sai lầm trong một khẳng định bình thường đã đi một nhẽ, điều này chẳng mấy ai chú ý. Đằng này, kết quả của chúng tôi lại đưa ra một bước bất ngờ theo một phương hướng mới mà chắc chắn sẽ gây ra phản ứng mạnh mẽ. Nếu như chúng tôi sai thì mọi người ai cũng sẽ biết.

Cuối cùng, sau khi kiểm tra đi kiểm tra lại một cách kỹ lưỡng, chúng tôi lấy lại được sự tự tin và quyết định gửi bài báo đi công bố. Ít ngày sau, tôi đang ngồi tại phòng làm việc ở Đại học Harvard thì chợt có chuông điện thoại. Đó là Philip Candelas ở Đại học Texas và ông ngay lập tức hỏi tôi rằng ngồi đã vững chưa. Tôi đáp là ngồi rất vững. Khi đó, ông báo cho tôi biết rằng ông và hai sinh viên của mình là Monika Lynker và Rofl Schimmrigk đã tìm ra một kết quả mà có thể khiến cho tôi phải ngã nhào ra khỏi ghế. Bằng cách khảo sát một tập hợp mẫu rất lớn các không gian Calabi-Yau mà họ đã tạo được trên máy tính, họ đã phát hiện ra rằng gần như tất cả các không gian này đều sinh ra theo từng cặp, chỉ khác nhau bởi sự hoán vị các lỗ có số chiều chẵn và lẻ. Tôi nói với Candelas rằng tôi hiện vẫn ngồi rất vững và chính tôi cùng Plesser cũng đã tìm ra kết quả đó. Hóa ra công trình của Candelas và của chúng tôi bổ sung cho nhau: chúng tôi đã tiến thêm một bước nhờ chứng minh được rằng toàn bộ vật lý nảy sinh từ cặp không gian đối xứng gương là hoàn toàn như nhau, trong khi đó Candelas và hai sinh viên của ông lại chứng minh được rằng một tập hợp mẫu lớn hơn nhiều của các không gian Calabi-Yau đều rơi vào cặp đối xứng gương. Thông qua hai bài báo, chúng tôi đã phát minh ra đối xứng gương của lý thuyết dây.