Chương 3 -Uốn cong và lượn sóng(1)

Gia tốc và sự cong của không gian và thời gian

Einstein đã dồn hết sức lực, tâm trí, và nhiều lúc tựa như là bị ma ám, để nghiên cứu vấn đề đó. Khoảng 5 năm sau phát hiện sáng giá của mình tại Văn phòng đăng ký sáng chế ở Bern, ông đã viết cho nhà vật lý Arnold Sommerfeld: “Hiện giờ tôi chỉ làm việc về vấn đề hấp dẫn... [Một] điều chắc chắn - đó là chưa bao giờ trong đời tôi lại phải trăn trở khổ sở như vậy... So với bài toán này thì lý thuyết tương đối ban đầu [tức thuyết tương đối hẹp] chỉ là một trò chơi trẻ con”.

Vào năm 1912, ông tưởng như đã làm được một cú đột phá then chốt tiếp theo, đó là một hệ quả đơn giản nhưng tinh tế được rút ra khi áp dụng thuyết tương đối hẹp cho mối liên hệ giữa hấp dẫn và chuyển động có gia tốc. Để hiểu được bước này trong suy luận của Einstein, một cách dễ nhất là tập trung xem xét một ví dụ cụ thể về chuyển động có gia tốc, như chính ông cũng đã từng làm như vậy. Cần nhớ lại rằng, một vật chuyển động có gia tốc nếu độ lớn của vận tốc hoặc phương chuyển động của nó thay đổi. Để đơn giản, ta sẽ xét chuyển động có gia tốc trong đó chỉ có hướng của chuyển động thay đổi còn độ lớn của vận tốc thì cố định. Đặc biệt, ta sẽ xét chuyển động tròn mà ai cũng cảm thấy khi đứng yên trên một sàn quay có tên là Tornado thường thấy trong các công viên giải trí. Trong trường hợp bạn chưa quen đứng vững trên một sàn quay như vậy, bạn có thể đứng tựa lưng vào vách kính hình tròn làm bằng thủy tinh hữu cơ quay với tốc độ cao cùng với sàn. Giống như mọi chuyển động có gia tốc khác bạn có thể cảm nhận được chuyển động này: cụ thể, bạn cảm thấy một lực kéo bạn theo phương bán kính ra xa tâm quay đồng thời bạn cũng cảm thấy vách kính ép lên lưng bạn, giữ cho bạn chuyển động tròn. (Mặc dù không có liên quan gì đến những điều thảo luận ở đây, nhưng cũng nói thêm rằng, thực tế chuyển động quay đã “găm” cơ thể bạn vào vách kính với một lực mạnh tới mức, dù cho sàn dưới chân bạn có biến mất bạn cũng không bị trượt xuống phía dưới). Nếu như sàn quay cực kỳ đều và bạn nhắm mắt lại, thì áp lực của sự quay lên lưng bạn có thể khiến cho bạn cảm thấy gần như là bạn đang nằm trên giường. Nói “gần như” là bởi vì bạn vẫn còn cảm thấy lực hấp dẫn bình thường theo phương “thẳng đứng”, khiến cho không thể lừa bộ não của bạn hoàn toàn được. Nhưng nếu bạn đứng trong Tornado đặt ở bên ngoài khoảng không vũ trụ chẳng hạn, và nếu như sàn quay với tốc độ thích hợp, thì bạn sẽ cảm thấy đúng là đang nằm trên chiếc giường đứng yên trên mặt đất. Hơn nữa, nếu như bạn “đứng dậy” và đi lại trên thành trong của vách kính quay, thì chân bạn ép lên nó hệt như khi đi bình thường trên mặt đất. Thực tế, các trạm không gian đều được thiết kế quay theo cách đó để tạo ra cảm giác giả tạo về trọng lực trong không gian vũ trụ.

Bây giờ, khi đã quen với chuyển động có gia tốc của chiếc Tornado quay mô phỏng hấp dẫn (trọng lực), bạn có thể theo dõi sự suy luận của Einstein và xem không gian và thời gian nhìn như thế nào dưới con mắt của người quan sát cùng đứng trên sàn quay. Những suy luận của Einstein áp dụng cho trường hợp mô tả ở trên như sau: Chúng ta, những người quan sát đứng yên, có thể dễ dàng đo được chu vi và bán kính của sàn quay. Ví dụ đo chu vi ta thận trọng đặt thước kế tiếp nhau dọc theo vành đai của sàn; còn đối với bán kính, ta cũng làm theo phương pháp đó bằng cách đặt thước kế tiếp nhau từ tâm quay sàn đến mép ngoài của nó. Cuối cùng, ta thấy rằng tỷ số của hai kết quả đo được bằng hai lần của số pi, tức là xấp xỉ 6,28 đúng như đối với một hình tròn mà ta vẽ trên giấy trong hình học sơ cấp. Nhưng liệu điều đó có đúng đối với người quan sát đứng trên sàn quay không?

Để làm sáng tỏ vấn đề này, ta đề nghị Slim và Jim hiện đang chơi trên sàn quay, thực hiện một số phép đo. Ta ném cho Slim một chiếc thước và nhờ anh ta đo chu vi của sàn quay và một chiếc thước cho Jim để anh ta đo bán kính của nó. Để cho dễ quan sát, ta chọn một chỗ đứng trên cao nhìn xuống như được minh họa trên Hình 3.1.







Hình 3.1. Chiếc thước của Slim bị co lại, vì nó nằm dọc theo hướng chuyển động của sàn quay. Trong khi đó chiếc thước của Jim nằm dọc theo bán kính, tức là vuông góc với hướng chuyển động vì vậy chiều dài của nó không bị co lại .

Chúng ta cũng đã tô điểm cho bức hình chụp nhanh này một mũi tên chỉ hướng chuyển động tức thời của mỗi điểm trên sàn. Khi Slim bắt đầu đo chu vi, từ vị trí trên cao ta thấy ngay rằng anh ta sẽ nhận được một kết quả khác với kết quả của chúng ta. Đó là bởi vì, khi anh ta đặt thước đo chu vi, ta đã thấy rằng chiều dài chiếc thước của anh ta đã bị co ngắn lại. Đây chính là sự co Lorentz mà chúng ta đã thảo luận ở Chương 2, theo đó, chiều dài của một vật bị co ngắn lại dọc theo hướng chuyển động. Mà chiếc thước đã ngắn hơn có nghĩa là số lần đặt thước dọc theo chu vi của anh ta sẽ nhiều hơn. Vì Slim vẫn nghĩ rằng chiếc thước của anh ta dài 1m (do không có chuyển động tương đối giữa Slim và cái thước, nên anh ta cảm nhận thấy chiếc thước dài 1m như bình thường), điều này có nghĩa là Slim sẽ đo được chu vi của sàn dài hơn kết quả đo của chúng ta. (Nếu bạn thấy vô lý hãy xem chú thích 1, trang 9).

Còn bán kính thì sao? Jim cũng dùng phương pháp tương tự để đo bán kính và từ vị trí quan sát trên cao, chúng ta thấy rằng anh ta sẽ tìm thấy kết quả giống như chúng ta. Sở dĩ như vậy là vì, chiếc thước khi này không đặt dọc theo hướng tức thời của chuyển động (như Slim đo chu vi). Thay vì thế, nó lại đặt vuông góc với hướng chuyển động và do đó chiều dài của nó không bị co lại. Vì vậy, Jim sẽ đo được bán kính của sàn đúng như chúng ta đã đo được.

Nhưng bây giờ, khi mà Slim và Jim tính tỷ số của chu vi và bán kính của sàn quay, họ sẽ nhận được một con số lớn hai hai lần số pi mà chúng ta đã tính được, vì chu vi bây giờ là dài hơn còn bán kính thì vẫn như trước. Thật là một điều lạ lùng. Làm thế quái nào mà một vật hình tròn lại có thể vi phạm một phát minh của người cổ Hy Lạp nói rằng đối với bất cứ một hình tròn nào, tỷ số của chu vi và bán kính của nó đều phải đúng bằng 2pi?

Đây là câu trả lời của Einstein: Phát minh của người cổ Hy Lạp là đúng đối với những vòng tròn được vẽ trên mặt phẳng . Nhưng cũng giống như những chiếc gương cong trong nhà cười ở các công viên giải trí làm méo mó những quan hệ không gian trong ảnh của chúng ta qua những chiếc gương đó, nếu vòng tròn được vẽ trên một mặt cong, thì những quan hệ hình học bình thường của nó cũng sẽ bị méo mó: khi đó, tỷ số giữa chu vi và bán kính của nó, nói chung, sẽ không còn bằng hai lần số pi nữa.

Ví dụ, Hình 3.2 so sánh ba vòng tròn có bán kính như nhau. Tuy nhiên, cần thấy rằng chu vi của chúng lại không như nhau. Hình tròn (b) được vẽ trên mặt lồi của hình cầu, nó có chu vi nhỏ hơn chu vi của vòng tròn (a) vẽ trên mặt phẳng, ngay cả khi chúng có bán kính như nhau. Bản chất cong của mặt cầu khiến cho các đường bán kính hơi chụm vào nhau, do đó làm giảm chu vi của hình tròn. Mặt khác, chu vi của hình tròn (c), cũng được vẽ trên một mặt cong - có dạng hình yên ngựa - lại lớn hơn chu vi vòng tròn vẽ trên mặt phẳng. Bản chất cong của mặt hình yên ngựa khiến cho các đường bán kính hơi loe ra xa nhau, do đó làm cho chu vi của vòng tròn trở nên lớn hơn. Từ những nhận xét trên suy ra rằng tỷ số của chu vi và bán kính của vòng tròn (b) nhỏ hơn 2pi, trong khi đó tỷ số ấy của vòng trọn (c) lại lớn hơn 2pi. Nhưng độ sai lệch đó đối với 2pi, mà đặc biệt là giá trị lớn hơn trong trường hợp (c) lại chính là điều chúng ta đã tìm thấy đối với trường hợp cái sàn quay Tornado. Điều này đã dẫn Einstein đưa ra ý tưởng cho rằng sự cong của không gian chính là nguyên nhân dẫn đến sự vi phạm hình học Euclide “thông thường”. Hình học phẳng của người Hy Lạp đã từng dạy cho trẻ em từ hàng ngàn năm nay hóa ra lại không dùng được cho người ở trên sàn quay. Như phần (c) của Hình 3.2 cho thấy, trong trường hợp này hình học Euclide phải được thay bằng hình học không gian cong - một sự tổng quát hóa của nó [1] .







s

Hình 3.2 Vòng tròn được vẽ trên mặt cầu (b) có chu vi nhỏ hơn vòng tròn vẽ trên mặt phẳng (a), trong khi đó vòng tròn vẽ trên mặt hình yên ngựa (c) lại có chu vi lớn hơn ngay cả khi chúng có bán kính như nhau .

Và như vậy, Einstein đã nhận thấy rằng những quan hệ hình học quen thuộc được xây dựng bởi những người Hy Lạp, tức là những quan hệ thuộc về những hình không gian “phẳng” như vòng tròn trên một mặt bàn phẳng chẳng hạn, sẽ không còn đúng nữa đối với người quan sát chuyển động có gia tốc. Tất nhiên, chúng ta mới chỉ xem xét một loại chuyển động có gia tốc đặc biệt, nhưng Einstein đã chứng minh được rằng một kết quả tương tự, tức sự cong của không gian, cũng đúng đối với mọi trường hợp chuyển động có gia tốc.

Thực tế, chuyển động có gia tốc không chỉ tạo ra sự cong của không gian mà còn gây ra sự cong (hay biến dạng) của cả thời gian nữa. (Về mặt lịch sử thì Einstein ban đầu tập trung vào sự cong không gian). Trong một mức độ nào đó, không có gì phải quá ngạc nhiên về chuyện thời gian cũng bị ảnh hưởng, vì ở Chương 2 chúng ta đã thấy rằng thuyết tương đối hẹp đã tạo ra sự khớp nối giữa không gian và thời gian. Trong một bài giảng của mình về thuyết tương đối hẹp vào năm 1908, Minkowski đã nói về sự hòa nhập đó bằng những lời lẽ rất thơ như sau: “Từ nay, riêng không gian không thôi và riêng thời gian không thôi sẽ tàn tạ như những chiếc bóng, chỉ có sự thống nhất của cả hai mới giữ được tính độc lập của chúng”. Nói bằng một ngôn ngữ đời thường hơn, nhưng với độ chính xác cũng không kém, thì bằng cách đan kết không gian và thời gian thành một cấu trúc thống nhất là không-thời gian, thuyết tương đối hẹp đã trịnh trọng tuyên bố: “Cái gì đúng với không gian cũng sẽ đúng với thời gian”. Nhưng một câu hỏi lại được đặt ra: “Trong khi chúng ta có thể hình dung không gian cong bởi dạng cong của nó, thì thời gian cong có nghĩa là thế nào?”.

Để có một cảm giác về câu trả lời, ta lại đề nghị Slim và Jim hiện vẫn còn ở trên Tornado quay thực hiện thí nghiệm sau. Slim đứng ở đầu mút của một bán kính và áp lưng vào vách kính còn Jim thì bò dọc theo một bán kính nào đó xuất phát từ tâm quay. Cứ vài mét Jim lại ngừng bò và hai anh em lại so đồng hồ với nhau. Họ sẽ thấy gì? Từ vị trí đứng yên trên cao, ta lại có thể tiên đoán được câu trả lời: đồng hồ của họ không chỉ giống nhau. Sở dĩ chúng ta đi tới kết luận đó là bởi vì chúng ta thấy rằng Slim và Jim chuyển động với vận tốc khác nhau. Ta biết rằng, trên sàn quay, nếu bạn ở càng xa tâm quay thì sau một vòng bạn sẽ đi được quãng đường dài hơn, do vậy mà bạn chuyển động nhanh hơn. Nhưng theo thuyết tương đối hẹp, bạn càng chuyển động nhanh thì đồng hồ của bạn càng chạy chậm và do đó chúng ta thấy rằng đồng hồ của Slim chạy chậm hơn đồng hồ của Jim. Hơn nữa, Slim và Jim còn thấy rằng khi Jim tới gần Slim, tốc độ phát tiếng tíc tắc của đồng hồ của Jim sẽ chậm lại và tiến gần tới tốc độ phát của đồng hồ Slim. Điều này phản ánh một thực tế là, khi Jim đi ra xa tâm quay, tốc độ chuyển động tròn của anh ta cũng tăng lên và tiền gần tới tốc độ của Slim.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng, đối với những người quan sát trên sàn quay, như Slim và Jim chẳng hạn, thì tốc độ trôi của thời gian phụ thuộc vào vị trí chính xác của họ (trong trường hợp đang xét, đó là khoảng cách tới tâm quay). Đây chính là sự minh họa cho cái mà ta gọi là thời gian cong. Thời gian bị cong hay biến dạng, nếu như tốc độ trôi của nó từ nơi này đến nơi khác là khác nhau. Khi bò dọc theo một bán kính, Jim còn cảm thấy một điều khác nữa, đặc biệt quan trọng đối với sự thảo luận của chúng ta ở đây. Anh ta cảm thấy một lực (ly tâm) kéo mạnh ra phía ngoài và tăng dần, bởi vì khi bò ra càng xa tâm quay, không chỉ vận tốc mà gia tốc của anh ta cũng tăng. Cuối cùng chiếc sàn quay cho phép chúng ta thấy rằng gia tốc càng lớn thì kèm theo sự chậm của đồng hồ càng lớn, tức là gia tốc càng lớn thì thời gian càng cong mạnh.

Những nhận xét này đã đưa Einstein đến bước nhảy cuối cùng. Vì ông đã chứng tỏ được rằng hấp dẫn và chuyển động có gia tốc là thực sự không thể phân biệt được và vì giờ đây ông còn chứng tỏ được rằng chuyển động có gia tốc còn gắn liền với sự cong của không gian và thời gian nên ông đã đưa ra cách giải thích sau cho cái “hộp đen” hấp dẫn: hấp dẫn chính là sự cong của không gian và thời gian. Dưới đây chúng ta sẽ xét xem điều này có ý nghĩa gì.

[1] Sự phân tích vòng quay của Tornado hay “đĩa quay cứng” theo cách gọi chuyên môn hơn, sẽ dẫn đến hiểu lầm. Thực tế, cho tới nay vẫn chưa có sự nhất trí hoàn toàn về nhiều khía cạnh tinh tế của ví dụ này. Trong phần trình bày ở Chương 3, chúng tôi theo đúng tinh thần phân tích của Einstein và trong chú thích này chúng tôi vẫn theo quan điểm đó và tìm cách làm sáng tỏ thêm một số đặc điểm mà bạn có thể còn mơ hồ. Thứ nhất, bạn có thể cảm thấy khó hiểu là tại sao chu vi của sàn quay lại không bị co Lorentz hệt như cái thước và từ đó chiều dài của chu vi mà Slim đo được cũng đúng như chúng ta đã đo được ban đầu. Tuy nhiên, bạn cần nhớ kỹ rằng trong toàn bộ sự thảo luận của chúng ta, Tornado luôn luôn quay, và chúng ta không khi nào đo được chu vi của nó khi nó đứng yên cả. Và như vậy, theo quan điểm của chúng ta - những người quan sát đứng yên - thì sự khác nhau duy nhất giữa phép đo chu vi sàn quay của chúng ta và của Slim là chiếc thước của Slim bị co lại; sàn Tornado quay vẫn đã quay từ trước khi chúng ta đo và cũng vẫn đang quay khi chúng ta quan sát Slim tiến hành đo. Vì chúng ta thấy chiếc thước của Slim bị co lại, nên chúng ta phát hiện ra rằng anh ta phải đặt chiếc thước dọc theo chu vi sàn quay với số lần lớn hơn chúng ta. Sự co lại của chu vi sàn quay có thể sẽ có liên quan chỉ khi chúng ta so sánh các tính chất của sàn quay khi nó quay và khi nó đứng yên, nhưng chúng ta không cần tới sự so sánh đó. Thứ hai, mặc dù chúng ta không cần phải đo sàn quay khi nó đứng yên, nhưng có thể bạn vẫn còn băn khoăn về chuyện điều gì sẽ xảy ra khi sàn quay chậm dần rồi dừng lại. Bây giờ thì chúng ta lại cần phải tính tới sự thay đổi của chu vi khi sàn quay chậm dần bởi vì mức độ co Lorentz cũng thay đổi. Nhưng điều này làm thế nào có thể phù hợp với thực tế là bán kính của sàn không thay đổi? Đây là một vấn đề rất tế nhị và việc giải quyết nó dựa vào một thực tế là, trong thế giới thực không có những vật rắn tuyệt đối. Các vật có thể kéo giãn hoặc uốn cong và do đó thích nghi với sự kéo giãn hoặc co lại mà chúng ta đã gặp phải; nếu không thế, như Einstein đã chỉ ra, thì chiếc đĩa quay - ban đầu được chế tạo bằng cách để cho kim loại nóng chảy nguội đi ở trong khuôn đúc chuyển động quay - sẽ bay tung toé ra ngoài khi vận tốc quay sau đó bị thay đổi. Chi tiết hơn về lịch sử chiếc đĩa quay có thể xem “Einstein và chiếc đĩa quay rắn” Stachel trong cuốn General Relativity and Graviation (New York: Viking, 1997).