Chương 10 - Hình học lượng tử (11)

Vật lý và toán học của đối xứng gương

Sự nới lỏng mối liên hệ duy nhất và cứng nhắc giữa hình học của không gian và vật lý trong thuyết tương đối rộng của Einstein là một trong những thay đổi hình mẫu nổi bật của lý thuyết dây. Tuy nhiên, những phát triển đó không chỉ dừng lại ở sự thay đổi về quan điểm triết học mà còn đi xa hơn thế nhiều. Đặc biệt, đối xứng gương còn cung cấp cho ta một công cụ mạnh mẽ để tìm hiểu cả vật lý của lý thuyết dây lẫn toán học của các không gian Calabi-Yau. Các nhà toán học làm việc trong lĩnh vực có tên là hình học đại số đã nghiên cứu các không gian Calabi-Yau vì những lý do thuần túy toán học đã từ khá lâu trước khi lý thuyết dây ra đời. Họ đã tìm ra nhiều tính chất chi tiết của các không gian này mà không hề ngờ tới sẽ áp dụng cho vật lý trong tương lai. Tuy nhiên đối với các nhà toán học, một số khía cạnh của các không gian Calabi-Yau tỏ ra rất khó, thậm chí gần như là không thể, làm sáng tỏ một cách đầy đủ. Song, sự phát hiện ra đối xứng gương trong lý thuyết dây đã làm cho tình hình thay đổi một cách đáng kể. Về căn bản, đối xứng gương tuyên bố rằng các cặp đặc biệt của các không gian Calabi-Yau, mà trước kia coi là không có liên quan gì với nhau, thì bây giờ lại liên hệ mật thiết với nhau bởi lý thuyết dây. Chúng liên kết với nhau bởi vũ trụ vật lý chung mà mỗi không gian đó dẫn tới, khi nó được chọn làm các chiều phụ bị cuộn lại. Sự liên quan lẫn nhau mà trước kia không ngờ tới đó đã cung cấp cho ta một công cụ mới sắc bén của toán học và vật lý.

Ví dụ, hãy hình dung bạn đang bận bịu tính toán các tính chất vật lý, chẳng hạn như một khối lượng và các tích lực, gắn liền với sự lựa chọn một không gian Calabi-Yau khả dĩ làm các chiều phụ cuộn lại. Bạn không quan tâm lắm về sự phù hợp của các kết quả chi tiết mà bạn tính được với thực nghiệm, vì như chúng ta đã thấy, nhiều trở ngại về lý thuyết cũng như kỹ thuật hiện nay chưa cho phép chúng ta làm được điều đó. Thay vì thế, bạn làm việc thông qua một thí nghiệm tưởng tượng liên quan tới những tính chất mà một vũ trụ cần phải có, nếu ta chọn một không gian Calabi-Yau cụ thể nào đó làm các chiều bị cuộn lại. Ban đầu mọi chuyện đều suôn sẻ, nhưng giữa chừng bạn lại vấp phải một tính toán khó tới mức không sao vượt qua nổi. Không một ai, kể cả nhà toán học sừng sỏ nhất thế giới, cũng không thể hình dung ra phải làm tiếp như thế nào. Và thế là bạn rơi vào ngõ cụt. Nhưng chợt bạn nhận thấy rằng không gian Calabi-Yau này có một ảnh gương. Vì vật lý liên quan tới cặp không gian này hoàn toàn như nhau, do đó bạn có thể tự do dùng không gian nào để tính toán cũng được. Và như vậy, bạn có thể chuyển những tính toán khó khăn trong không gian Calabi-Yau ban đầu sang tính toán trong không gian ảnh của nó với niềm tin vững chắc rằng hai kết quả sẽ phải hoàn toàn như nhau. Thoạt nhìn, bạn có thể nghĩ rằng những tính toán trong không gian ảnh này chắc cũng chẳng dễ dàng hơn bao nhiêu so với trong không gian ban đầu. Nhưng ở đây bạn sẽ phát hiện ra một sự bất ngờ thú vị: mặc dù kết quả là hoàn toàn như nhau, nhưng những tính toán chi tiết thì lại rất khác nhau và trong một số trường hợp, những tính toán cực kỳ khó khăn ban đầu lại trở nên cực kỳ dễ dàng trong không gian ảnh. Không thể giải thích một cách đơn giản tại sao lại xảy ra như vậy, nhưng ít nhất đối với một số tính toán, nó thực sự đúng là như thế và sự giảm bớt khó khăn có thể nó là ghê gớm. Tất nhiên, hệ quả đã là rõ ràng: bạn không còn rơi vào ngõ cụt nữa.

Điều này cũng tựa như người ta yêu cầu bạn đếm chính xác số lượng cam được xếp hổ lốn trong một côngtenơ khổng lồ có chiều rộng và chiều cao là 20m còn chiều sâu là 5m. Ban đầu bạn định đếm từng quả một, nhưng chẳng bao lâu bạn nhận ra rằng đó là một nhiệm vụ quá ư nặng nhọc. May thay, đúng lúc giao hàng thì có một người bạn tới. Anh ta cho bạn biết rằng cam chở đến được đóng thành từng hộp nhỏ (và tình cờ anh ta đang giữ trong tay) và xếp 20 hộp theo chiều rộng, 20 hộp theo chiều cao và 20 hộp theo chiều sâu. Bạn tính ngay ra số cam chở tới gồm 8000 hộp và bạn chỉ còn phải làm việc là xem mỗi hộp người ta xếp bao nhiêu quả cam. Điều này chẳng khó khăn gì vì chỉ cần mượn người bạn chiếc hộp và xếp thử cam vào trong đó. Vậy là, bạn có thể hoàn thành nhiệm vụ đếm tưởng như rất nặng nhọc mà hầu như chẳng mất công sức gì. Về căn bản, nhờ tổ chức tính toán một cách thông minh, bạn có thể làm cho nó trở nên dễ thực hiện hơn rất nhiều. Tình hình với nhiều tính toán bằng số trong lý thuyết dây cũng diễn ra tương tự. Theo quan điểm của một không gian Calabi-Yau, thì một tính toán có thể liên quan tới nhiều bước tính rất khó về mặt toán học. Nhưng nếu chuyển tính toán đó sang ảnh gương của không gian ban đầu, phép tính được tổ chức lại một cách có hiệu quả hơn, khiến cho nó được thực hiện tương đối dễ dàng. Plesser và tôi đã đưa ra ý tưởng đó và nó đã được áp dụng một cách rất có ấn tượng trong các công trình sau đó của Candelas và các cộng sự của ông là Xenia de la Ossa và Linda Parkes thuộc Đại học Texas và Paul Green thuộc Đại học Maryland. Họ đã chứng tỏ được rằng những tính toán khó tưởng như không thể thực hiện nổi lại có thể giải quyết được trong không gian ảnh mà chỉ mất vài ba trang tính toán đại số và một máy tính văn phòng

Đây là một sự phát triển đặc biệt khích lệ đối với các nhà toán học, bởi vì một số những tính toán đó chính họ đã bị vấp nhiều năm trước. Vậy là, lý thuyết dây - ít nhất là theo tuyên bố của các nhà vật lý - đã vượt lên họ ở ngay sát đích cuối cùng.

Bạn cũng nên biết rằng giữa các nhà toán học và vật lý luôn ngấm ngầm có một sự tranh đua lành mạnh và nói chung là có thiện chí. Đã xảy ra một chuyện như thế này. Hai nhà toán học Na Uy là Geir Ellingsrud và Arild Stromme tình cờ cũng thực hiện một trong số rất nhiều tính toán mà nhóm của Candelas đã thực hiện thành công nhờ đối xứng gương. Nói một cách nôm na, đó là bài toán tính số hình cầu có thể “xếp” trong một không gian Calabi-Yau cụ thể nào đó, tương tự như là đếm số cam xếp trong một côngtenơ lớn mà ta vừa nói ở trên. Trong cuộc gặp gỡ của các nhà vật lý và toán học diễn ra ở Berkeley vào năm 1991, Candelas đã tuyên bố rằng kết quả mà nhóm của ông nhận được bằng cách dùng lý thuyết dây và đối xứng gương là 317.206.375. Ellingsrud và Stromme cũng thông báo kết quả mà họ thu được sau những phép tính rất khó về mặt toán học là: 2.682.549.425. Các nhà vật lý và toán học tranh luận với nhau mấy ngày liền: ai đúng, ai sai đây? Câu hỏi đó trở thành một cuộc trắc nghiệm, một thứ “thuốc thử” thực sự đối với độ tin cậy về mặt định lượng của lý thuyết dây. Một số người thậm chí còn hơi diễu cợt bình luận rằng cuộc trắc nghiệm này chính là phương tiện tốt nhất để so sánh lý thuyết dây với thực nghiệm. Hơn thế nữa, những kết quả mà nhóm Candelas còn vượt xa ra ngoài phạm vi một kết quả bằng số duy nhất mà Ellingsrud và Stromme tuyên bố họ đã tính được. Ông và các cộng sự của mình đã tuyên bố rằng, họ còn trả lời được nhiều câu hỏi khác còn khó hơn thế rất nhiều, khó tới mức thực tế chưa có nhà toán học nào dám đụng tới. Nhưng liệu những kết quả của lý thuyết dây có thể tin cậy được không? Cuộc gặp gỡ đã kết thúc với rất nhiều cuộc trao đổi bổ ích giữa các nhà toán học và vật lý, nhưng sự bất đồng thì vẫn chưa giải quyết được.

Khoảng một tháng sau, một bức thư điện tử đã được gửi tới tất cả những người tham gia trong cuộc gặp gỡ ở Berkeley với tiêu đề vật lý đã chiến thắng! Ellingsrud và Stromme đã tìm ra một lỗi trong chương trình máy tính của mình và khi sửa lại lỗi đó, họ thu được đúng kết quả mà nhóm Candelas. Sau đó, còn có rất nhiều kiểm tra toán học đối với độ tin cậy về mặt định lượng của đối xứng gương trong lý thuyết dây, nhưng nó đều kiêu hãnh vượt qua. Mới đây, sau gần một chục năm phát hiện ra đối xứng gương, các nhà toán học đã tiến một bước khá dài trong việc tìm hiểu cơ sở toán học của nó. Xuất phát từ những đóng góp quan trọng của các nhà toán học Maxim Kontsevic, Yuri Manin, Gang Tian, Jun Li và Alexader Givental, Yau và các cộng sự của mình là Bong Lian và Kefeng Liu cuối cùng đã tìm ra một chứng minh toán học chặt chẽ cho công thức dùng để đếm số hình cầu chứa trong các không gian Calabi-Yau và như vậy là đã giải quyết được các bài toán đã từng làm nát óc các nhà toán học hàng trăm năm nay.

Ngoài thành công đặc biệt mà ta nói ở trên, những phát triển đó còn làm nổi bật vai trò của vật lý hiện đại đối với toán học. Lâu nay, các nhà vật lý chuyên “đào mỏ” các kho lưu trữ toán học để tìm kiếm những công cụ phục vụ cho việc xây dựng và phân tích các mô hình về thế giới vật lý. Giờ đây, nhờ phát minh ra lý thuyết dây, vật lý học đã bắt đầu trả món nợ đó, nó đã cung cấp cho các nhà toán học những cách tiếp cận mới đầy hiệu quả đối với những bài toán còn chưa giải được của họ. Lý thuyết dây không chỉ cung cấp một khuôn khổ thống nhất cho vật lý, mà rất có thể nó còn rèn đúc nên một sự thống nhất sâu sắc không kém đối với cả toán học nữa.